“洛”到死？

星主们👋，今天来给大家讲讲高等数学里超重要的洛必达法则，学会它，极限计算不再难！

原理🎯

简单来说，当我们求一个函数在某点的极限时，如果直接求很困难，而这个函数恰好是 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型（就是分子分母要么都趋于 0，要么都趋于无穷大），那就可以用洛必达法则。

它的核心就是对分子分母分别求导，然后再求极限。这是因为在满足一定条件下，原函数的极限和求导后的函数极限是相等的🧐。

来历📜

洛必达法则是由法国数学家洛必达在 1696 年在他的著作《无穷小分析》中首次发表的。不过，据说这个法则其实是他的老师伯努利发现的，洛必达从老师那里获得了这个方法，并进行整理发表。但不管怎样，这个法则对数学发展影响巨大，帮我们解决了好多极限难题呢😎。

炫一道看看👇

比如求 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$，这是个典型的 “$\frac{0}{0}$” 型极限。

按照洛必达法则，对分子分母分别求导。

所以$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}=\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{1}$，当$x \to 0$时，$\cos x \to 1$ ，那么这个极限就等于 1 啦👏。

浅浅注意⚠️

1. 适用类型：必须是 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型的极限才可以使用洛必达法则🙅‍♀️。如果不是这两种类型，直接用就会出错。比如求$\lim_{x \to 0} (x + 1)$，就不能用洛必达法则，因为它不是这两种特殊类型。

2. 求导条件：在求导过程中，分子分母的导数必须都存在🧐。要是其中一个导数不存在，那就不能继续使用洛必达法则。例如$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x^2}$，如果分母求导后在某些情况下导数无意义，就需要换其他方法求解。

3. 多次使用：多次使用洛必达法则时，每次使用前都要检查是否还是 “$\frac{0}{0}$” 型或者 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型🔁。如果不是了，就不能再用。比如求$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2}{e^x}$，第一次用洛必达法则后得到$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{e^x}$，还是 “$\frac{\infty}{\infty}$” 型，可以继续用，但第二次用后得到$\lim_{x \to +\infty} \frac{2}{e^x}$，就不再是这两种类型了，不能再用洛必达法则。

4. 结合其他方法：洛必达法则不是万能的，有时候结合等价无穷小替换、重要极限等其他方法一起使用，能更简便地求出极限🤝。比如求$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$，可以先用等价无穷小替换简化，再用洛必达法则。

5. 求导后极限不存在的情况：使用洛必达法则求导后，若新的极限不存在且不为无穷大，不能直接判定原极限不存在🙅‍♂️。例如求$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x}$，直接用洛必达法则求导后得到$\lim_{x \to +\infty} (1 + \cos x)$，$\cos x$在$x \to +\infty$时极限不存在一直在$-1$到$1$振荡，但原极限$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + \sin x}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{\sin x}{x}) = 1$（因为$\frac{\sin x}{x}$在$x \to +\infty$时极限为 0 ） ，所以当求导后极限不存在时，要尝试其他方法去求原极限。

星主们~这样讲是不是很好懂？快去多找些题目练练吧💪，有问题评论区留言哦～