2680.最大或值

算法要求

给你一个下标从 0 开始长度为 n 的整数数组 nums 和一个整数 k 。每一次操作中，你可以选择一个数并将它乘 2 。

你最多可以进行 k 次操作，请你返回 nums[0] | nums[1] | ... | nums[n - 1] 的最大值。

a | b 表示两个整数 a 和 b 的 按位或 运算。

示例 1：

输入：nums = [12,9], k = 1
输出：30
解释：如果我们对下标为 1 的元素进行操作，新的数组为 [12,18] 。此时得到最优答案为 12 和 18 的按位或运算的结果，也就是 30 。

示例 2：

输入：nums = [8,1,2], k = 2
输出：35
解释：如果我们对下标 0 处的元素进行操作，得到新数组 [32,1,2] 。此时得到最优答案为 32|1|2 = 35 。

提示：

• 1 <= nums.length <= 105

• 1 <= nums[i] <= 109

• 1 <= k <= 15

算法解析

方法一：前后缀分解

核心思路

• 要让最终的或值最大，应尽可能让某个元素通过左移k次（即乘以2^k）来增加其二进制长度。例如，将x左移k次得到x << k，其二进制长度增加k位。

关键步骤

1. 预处理后缀或数组：
   suf[i]表示数组nums[i+1..n-1]的或值。这样，当处理nums[i]时，右边元素的或值可以直接通过suf[i]获取。

2. 遍历计算前缀或：
   维护一个变量pre，表示当前遍历到的元素左边所有元素的或值。对于每个元素nums[i]，计算pre | (nums[i] << k) | suf[i]，并更新pre。

示例代码

class Solution:
    def maximumOr(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        n = len(nums)
        suf = [0] * n
        for i in range(n-2, -1, -1):
            suf[i] = suf[i+1] | nums[i+1]
        
        ans = pre = 0
        for x, suf_or in zip(nums, suf):
            ans = max(ans, pre | (x << k) | suf_or)
            pre |= x
        return ans

方法二：空间优化

核心思路

利用以下数学观察：

1. 所有元素的或值allOr：直接计算数组中所有元素的或值。

2. 固定位fixed：记录那些在多个元素中出现的位。这些位在去掉任意一个元素后，仍会保留在或值中。

关键步骤

1. 计算allOr和fixed：

   • allOr：所有元素的或值。

   • fixed：遍历每个元素时，将当前allOr与当前元素的按位与结果累加到fixed中。这样，fixed保存了至少在两个元素中出现的位。

2. 遍历每个元素：
   对于每个元素x，计算(allOr ^ x) | fixed | (x << k)，其中：

   • allOr ^ x：去掉x后的或值（可能错误地清除某些位）。

   • fixed：修正被错误清除的位（这些位至少在两个元素中出现）。

   • x << k：将x左移k位后的结果。

示例代码

class Solution:
    def maximumOr(self, nums: List[int], k: int) -> int:
        all_or = fixed = 0
        for x in nums:
            fixed |= all_or & x  # 记录至少出现两次的位
            all_or |= x          # 所有元素的或值
        
        # 计算每个元素左移k后的最大或值
        return max((all_or ^ x) | fixed | (x << k) for x in nums)

复杂度分析

• 时间复杂度：两种方法均为 O (n)，其中 n 为数组长度。

• 空间复杂度：

  • 方法一：O (n) （需要存储后缀或数组）。

  • 方法二：O (n) （仅使用常数空间）。

关键概念解释

1. 或操作的性质：
   或操作的结果在二进制中，只要某一位有一个 1，结果就是 1。因此，左移k次可以显著增加数值的二进制长度，从而提升或值。

2. 固定位fixed的作用：
   例如，若多个元素在某一位上为 1，则去掉任意一个元素后，该位仍为 1。fixed记录这些位，确保在计算时不会错误地清除它们。

3. 异或操作的作用：
   allOr ^ x的作用是 “假设” 去掉x后的或值，但可能错误地清除某些位。fixed修正这些错误，最终得到正确的或值。

算法总结

• 方法一通过预处理前后缀或数组，快速计算每个元素左移后的或值。

• 方法二通过数学优化，避免存储前后缀数组，空间效率更高。

• 两种方法均通过贪心策略，选择最优的元素进行左移操作，确保最终结果最大。