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近日，数学界一则重磅消息引发广泛关注：中国女科学家王虹凭借在挂谷猜想研究上的卓越成果，成为菲尔兹奖的热门人选🎉。这一消息不仅让王虹走入大众视野，也使得挂谷猜想这一几何领域的世纪难题再次成为焦点🧐。
王虹，1991 年出生于广西桂林。16 岁时，她考入北京大学地球与空间科学学院，后转至数学科学学院。在北大期间，她跟随王立中老师做本科生科研，并在刘张炬老师指导下完成毕业论文《经典 Hodge 理论和度量空间上的 Hodge 理论》，于 2011 年获得北京大学数学学士学位。此后，王虹赴法国深造，2014 年获巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位。2019 年，她斩获麻省理工学院博士学位。王虹的研究方向集中在调和分析和几何测度论，在《数学年刊》《数学新进展》等顶尖期刊发表多篇高质量论文，此前就已在数学界崭露头角，获得过玛丽安・米尔扎哈尼新前沿奖、2023ICCM 鲍剑文最佳论文奖等荣誉🌟。
那么，究竟什么是挂谷猜想，它为何能在数学界占据如此重要的地位呢？挂谷猜想，又称 “挂谷问题”，由日本数学家挂谷宗一于 1917 年提出。其问题原型带有一定的趣味性😜：一位武士在上厕所时遭到敌人袭击，矢石如雨，而他只有一根短棒，为了挡住射击，需要将短棒旋转一周 360°（支点可以变化），但厕所很小，应当使短棒扫过的面积尽可能小，面积可以小到多少？该问题的数学表述为：长度为 1 的线段在平面上做刚体移动（转动和平移），转过 180 度并回到原位置，扫过的最小面积是多少？由于转过 180° 和转过 360° 在本质上是等同的，因此通常只考虑旋转 180° 的情况。
定义长度为 1 的线段可在点集中转过 180°，这样的点集被称为挂谷集或别西科维奇集，这就把挂谷问题转化为了求面积最小的挂谷集。在解决这一问题的历程中，数学家们尝试了短棒的多种旋转方式🧐。比如，绕着线段一端转半圈，图形是半径为 1 的半圆，面积约为 1.57079633；把定点放在线段中点，面积为 π/4≈0.785398163。还有数学家发现，若线段在正三角形（高为 1，边长为 2/√3）中每一顶点处都旋转 60°，线段扫过面积为 1/√3。若线段夹在两个圆之间，转过 180° 的面积趋近于 π/8，但始终不等于 π/8。挂谷宗一本人借助三尖内摆线，算出这种情况下线段扫过的面积是 π/8 ，当时许多数学家认为这就是最小面积了😃。
1928 年，苏联数学家别西科维奇解决了这个问题，给出的答案令人震惊😲：短棒扫过的面积可以任意小（因而没有最小值）。别西科维奇用构造性的证明方法，通过将高为 1 的等边三角形进行多次平分、叠放，构造出 “佩龙树”，当重复步骤使三角形分割数量不断增加时，图形面积无限趋近于 0。把 3 个佩龙树分别旋转 0°、120°、240° 并叠在一起，得到一个在每个角上都有边长≥1 线段的贝西科维奇集，且面积任意小。借助匈牙利数学家鲍尔的贡献，贝西科维奇将构造的贝西科维奇集化为挂谷集，成功解决挂谷问题。
不过别西科维奇的解答并不完美，构造出的挂谷集不是单连通的（有很多洞）。后续，1965 年沃克首先找到比挂谷本人解答面积更小的单连通域挂谷集。同年布洛姆、舍恩伯格和坎宁安先后造出面积为 (5 - 2√2)π/24 的单连通挂谷集，这个面积被命名为 Bloom - Schoenberg number。1971 年坎宁安终于在单位圆内作出面积可以任意小的单连通挂谷集，完全解决了单连通性和有界性两方面的问题，同时证明了如果限于星形（即图形内存在一点，连接它与图形中任一点的线段整个在图形中），则挂谷集的面积不小于 π/108。在此之后，挂谷问题又有了多种形式的推广，如 1971 年戴维斯证明了一条半径为 1 的圆弧转过，扫过的面积不能任意小，将线段改为宽度很小的长方形这类问题也有人研究。
在历经一个多世纪的探索后，王虹对挂谷猜想的研究成果，很可能为这一难题画上圆满句号。若她最终成功摘得菲尔兹奖，将成为首位华人女性、世界第三位获该奖项的女性，这无疑将为数学界的发展注入新的活力，激励更多年轻学者投身于数学研究，也让我们对数学领域未来的突破充满期待🥰。