本文最后更新于 2024-12-29，文章内容可能已经过时。

设定给二个正数a与b(a>b) 。作出其等差中项与等比中项：

a_1= \frac{a+b}{2},\quad b_1=\sqrt{ab}.

由于

\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab} = \frac{1}{2}(a-2\sqrt{ab}+b)=\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2} >0(在a≠b时).

故，等差中项大于等比中项；同时它们又都位于原来两数的中间；

a>a_1>b_1>b.

对于数a_1及b_1，在作出它们的两种中项：

a_2=\frac{a_1+b_1}{2},\quad b_2=\sqrt{a_1b_1}.

并且有

a_1>a_2>b_2>b_1

如此，若数a_n及b_n已确定，则数a_{n+1}及b_{n+1}依照公式

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2},\quad b_{n+1} = \sqrt{a_nb_n}

确定，并且，如上所述，有

a_n>a_{n+1}>b_{n+1}>b_n.

这样就得出两个整序变量a_n及b_n，其中第一个显然是减小的，而第二个显然是增大的（逐渐互相接近），同时

a>a_n>b_n>b.

即二整序变量都是有界的，故二者都趋向于有限极限：

\alpha=\lim a_{n} \text{ 及 } \beta=\lim b_{n}.

若在等式

a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2}

中取极限，则得

\alpha = \frac{\alpha+\beta}{2}，由此\alpha = \beta.

这样，二序列——等差中项a_n的序列及等比中项b_n的序列——都趋向于公共极限\mu = \mu(a,b)；依高斯的称呼，称它为原数a及b的等差-等比中项，对于通过二数a,b来表达\mu (a,b)，将会在单独的椭圆积分撰写一篇文章，敬请期待，或阅读下书中的椭圆积分自行学习。