单调整序变量的极限

对于整序变量x_n有

就是说，若n' > n,必有x_{n'}>x_{n'}，这时候我们可以把x_n称作是增大的。若

如此，若n' > n,必定有x_{n'} ≥ x_n，这时就把x_n称作是不减小的。若是对于“增”这个术语，赋予更加广泛的意义，则在上述的后一种情形也可以称作是增的变量。

如此，可定义减小的——狭义的或广义的——变量的概念：变量x_n称为是减小的，若

或

如此，由n'>n可推得（看情形而论）x'_n <x_n 或仅x'_n ≤ x_n。

上述一切这种类型的、向单一方向改变的变量总称为单调变量，至于其中个别的整序变量，通常就说它是“单调增大”或者“单调减小”

对于单调整序变量成立以下定理（具有最基本重要性的）

定理

设已给单调增大的整序变量x_n，若其有上界:

则必有一有限的极限，否则，它趋向+\infty。

完全同样的，单调减小的整序变量x_n恒有极限，若它下有界：

则也必有一有限的极限，否则它的极限为- \infty 。

如何证明呢？

证明

且限制在整序变量x_n增大的情形，可能是广义的（整序变量减小的情形可以仿照此进行详细证明）。

先假定这变量上有界，则依照数集的界的定理，对于其数值的集\{x_n\}必有（有限的）上界存在：

在这里指出，此数a刚好就是整序变量x_n的极限。

实际上，在数集的界的定理内的上确界的特性中：

第一，对于一切n值将有

第二，不论取怎样的数\epsilon > 0，恒能求出序号N，使

这个特性表明上确界a是满足第一个特性的最小的数，具体来说，对于任意给定的一个\epsilon > 0（无论它多么小），总能在数列中找到一项x_N，使得x_N > a -\epsilon。

例如 对于上面假设的数列\{x_n\}和上确界2，若取\epsilon = 0.5，那么一定能找到一个N，使得

这就保证了a = 2是这个数列最小上界，即上确界。

由于我们的整序变量的单调性，在n>N时将有x_n ≥ x_N，从而x_n > a - \epsilon,，因此对于这种n就成立不等式：

由此，必有lim\;x_n = a。

今若设整序变量x_n不上有界，则不论数E>0怎样大，我们的变量总有一值大于E；设这数值是x_N:x_N>E，根据整序变量x_n的单调性，在n>N时常成立

而这即表示lim\; x_n = +\infty。

如此，便很明了了，对于那种变量，它仅从某一项起才变成单调的，一切结论仍能适用（因为弃去起始任何位置的有限数值，对于变量的极限并无影响）

例题

接下来我们将从应用上述定理例题中进行考察

考察整序变量

式中n! = 1,2,\cdots,n。(它在c>1时是一个\frac{\infty}{\infty})的不定式)

因

故仅需n>c-1时，变量就成为减小的；同时它有下界，例如，x_n > 0，根据单调有界定理——单调有界的数列必有极限，设这个极限为a。

为了求出它，可使得上述等式趋于极限；因x_{n+1}与x_n取值与同一数列（除第一项外，因n=0时，x_1 = x_0 \cdot \frac{c}{0+1} = x_0 \cdot c，但第二项开始为a = a \cdot0与第二项开始的极限行为不一致，会会干扰极限分析），亦必有同一极限a，故得出

由此，a= 0,最后，

如此我们继续考察

仍设c>0，令定义整序变量x_n为：

一般地

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